多元齐次函数欧拉定理

设函数 $f(x, y, z)$ 满足
$$ f(tx, ty, tz) = t^n f(x, y, z) \quad (t \text{ 为任意实数}), $$ 则称 $f$ 为 $n$ 次齐次函数。

证明：$n$ 次齐次函数 $f$ 满足关系式
$$ x f_x + y f_y + z f_z = n f(x, y, z), $$ 其中函数 $f$ 具有一阶连续偏导数。

定理（欧拉定理）

若 $f(x_1, x_2, \dots, x_m)$ 是 $n$ 次齐次函数，即对任意 $t$ 有
$$ f(tx_1, tx_2, \dots, tx_m) = t^n f(x_1, x_2, \dots, x_m), $$ 且 $f$ 一阶连续可偏导，则
$$ \sum_{i=1}^m x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = n f. $$

证明（以三元函数为例）

对等式 $f(tx, ty, tz) = t^n f(x, y, z)$ 两边关于 $t$ 求导：
$$ \frac{d}{dt} f(tx, ty, tz) = x f_x(tx, ty, tz) + y f_y(tx, ty, tz) + z f_z(tx, ty, tz), $$ 右边导数为 $n t^{n-1} f(x, y, z)$。于是
$$ x f_x(tx, ty, tz) + y f_y(tx, ty, tz) + z f_z(tx, ty, tz) = n t^{n-1} f(x, y, z). $$ 令 $t = 1$，即得
$$ x f_x(x, y, z) + y f_y(x, y, z) + z f_z(x, y, z) = n f(x, y, z). $$ 证毕。

这是高数课本82页的原题